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By Roshdi Rashed, Helene Bellosta

Einem einzigartigen und schwierigen challenge gewidmet, ist die Abhandlung Uber den Verhaltnisschnitt von Apollonius aus Perge ein bemerkenswert komplexes Beispiel fur die Erforschung der notwendigen Voraussetzungen fur die Existenz einer Losung. Der vorliegende Band bietet die editio princeps des nur arabisch uberlieferten Textes. Erschlossen wird er durch eine franzosische Ubersetzung und einen Kommentar, der die Mechanismen des schwierigen Beweises durch Apollonius aufzeigt und dabei besonders auf deren konzeptionelle Innovationen hinweist.

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C J c G a ? +00 +00 ? 2. 2 Fig. 21 Le problème posé a donc: 4 solutions si k> i, une sur [GC), une sur [El] et deux solutions sur [IG], de part et d'autre de J; 3 solutions si k = i, une sur [GC), une sur [El] et le point J est solution; 2 solutions si g < k < i, une sur [GC) et une sur [El] ; 3 solutions si k =g, une sur [GC), une sur [El] et le point F est solution; 4 solutions si k < g, une sur [GC), une sur [El] et deux solutions sur [ED), de part et d'autre du point F. 2. Lieux 8 à 10 Dans les lieux 8 à IO les points H et E sont de part et d'autre de la droite (CD), soit d < 0 ; dans le huitième lieu on a également c < 0 et dans les neuvième et dixième lieux on a respectivement c = a et c > a.

Le problème de La Section de rapport se ramène alors à la résolution de l'équation : ! bx ! (x-c) = k, équation (2). J d'équation y = k. (x-c) ° Le troisième lieu correspond alors au cas où c = (G =E), le quatrième lieu au cas où ac < (1 et G de part et d'autre de E), le cinquième lieu au cas où a =c (G =I) et enfin les sixième et septième lieux au cas où ac > et a:;t: c (1 et G distincts et d'un même côté de E). Traçons donc dans chacun de ces cas la courbe -G". ° Troisième lieu: G K D EK -00 EL GK ° ° = E (c = 0) 1 E=G ?

2. 2 Fig. 21 Le problème posé a donc: 4 solutions si k> i, une sur [GC), une sur [El] et deux solutions sur [IG], de part et d'autre de J; 3 solutions si k = i, une sur [GC), une sur [El] et le point J est solution; 2 solutions si g < k < i, une sur [GC) et une sur [El] ; 3 solutions si k =g, une sur [GC), une sur [El] et le point F est solution; 4 solutions si k < g, une sur [GC), une sur [El] et deux solutions sur [ED), de part et d'autre du point F. 2. Lieux 8 à 10 Dans les lieux 8 à IO les points H et E sont de part et d'autre de la droite (CD), soit d < 0 ; dans le huitième lieu on a également c < 0 et dans les neuvième et dixième lieux on a respectivement c = a et c > a.

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