Download Analyse empirischer und experimenteller Daten: Ein kompakter by Siegmund Brandt PDF

By Siegmund Brandt

Diese kompakte Einführung enthält die wichtigsten Grundlagen der mathematischen Statistik, die Beschreibung von Messungen und deren Fehler als Ergebnisse von Stichproben und die Methode der kleinsten Quadrate, angewandt auf verschieden schwierige konkrete Beispiele. Zusätzlich werden kurze Hinweise auf weitere Verfahren der Datenanalyse gegeben.

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Dieses iterative Verfahren kann abgebrochen werden, wenn die Minimum-Funktion im gerade ausgeführten Schritt im Vergleich zum Ergebnis des vorhergehenden Schrittes nicht mehr wesentlich gesunken ist. Ist die Lösung x = xn = xn−1 + ξ in n Schritten erreicht, so kann sie als lineare Funktion von ξ aufgefasst werden. Die Kovarianzmatrizen von x und ξ sind dann nach der Fehlerfortpflanzung identisch, und es gilt Cx = Gx−1 = (AT Gy A)−1 = (A T A )−1 . Allerdings verliert die Kovarianzmatrix ihre Aussagekraft, wenn die lineare Näherung im Bereich xi ± xi , i = 1, .

1 Methode der Maximum Likelihood Aus ihr kann die Vorschrift der kleinsten Quadrate für Gaußisch verteilte Messgrößen hergeleitet werden. Sie liefert darüber hinaus Antworten bei anders verteilten Messgrößen. Der Grundgedanke ist folgender: Eine Messgröße x folgt der Wahrscheinlichkeitsdichte f (x, λ), die noch von dem unbekannten Parameter λ abhängt. Wird der Wert x1 gemessen, so war die Wahrscheinlichkeit für sein Eintreten proportional zu f (x1 , λ). Man spricht von einer a-posteriori-Wahrscheinlichkeit oder Likelihood.

An1 an2 · · · anr cn so erhalten wir fj (x0 , η) = fj (x0 , y − ε) = fj (x0 , y) − ε . Damit können wir jetzt das Gleichungssystem in der Form f = Aξ + c − ε = 0 bzw. ε = c + Aξ schreiben, die ihre Entsprechung in Abschn. 1 findet, nur dass hier ξ statt x steht. Damit ist die Lösung ξ = −(AT Gy A)−1 AT Gy c . 26 4 Die Methode der kleinsten Quadrate Mit ξ findet man eine bessere Näherung x1 = x0 + ξ und berechnet neue Werte von A und c an der Stelle x1 . Eine Lösung ξ mit diesen Werten liefert x2 = x1 + ξ usw.

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